תרגול משפט הדיברגנץ. D תחום חסום וסגור בעל שפה חלקה למדי D, ותהי F פו' וקטורית :F, R n R n אזי: נוסחת גרין I: הוכחה: F = u v כאשר u פו' סקלרית:

Transcript

1 משפט הדיברגנץ תחום חסום וסגור בעל שפה חלקה למדי, ותהי F פו' וקטורית :F, R n R n אזי: div(f ) dxdy = F, n dr נוסחת גרין I: uδv dxdy = u v n dr u, v dxdy הוכחה: F = (u v v, u x y ) F = u v כאשר u פו' סקלרית: div(f ) = u x v x + u v x + u y v y + y v = u, v + uδv y נפעיל את משפט הדיברגנץ: div(u v) dxdy = uδv dxdy + u, v dxdy לכן: uδv, n dr u Δv, n v n uδv dxdy = uδv dxdy + u, v dxdy dr = uδv dxdy + u, v dxdy = u v n dr u, v dxdy ונקבל: וזוהי אכן נוסחת גרין הראשונה.

2 הערה: נחליף את התפקידים של u ו v בנוסחת גרין הראשונה ונכתוב את שני הצורות אחד ליד השני: uδv dxdy vδu dxdy = u v n dr u, v dxdy = v u n dr u, v dxdy (vδu uδv) dxdy = (v u n נחסר ביניהם לקבל את נוסחת גרין ה I: u v n ) dr הערה: זהות גרין משתמשים בדר"כ כדי להראות יחידות לבעיה רב מימדית ביחד עם אינטגרל אנרגיה. שימוש נוסף לזהות גרין הוא תנאי הכרחי לבעיית דריכלה לאופרטור לפלס עם תנאי נוימן: Δu =, (x, y) { u תנאי שפה רובין: n = f(x, y), (x, y) u(x, y, t) + k u n =, (x, y) כדי להראות את התנאי ההכרחי לבעיית אופרטור לפלס עם תנאי שפה נוימן ניעזר בזהות גרין ה I ונבחר = 1 v ונקבל: = u dr n תרגיל: נסתכל על משוואת לפלס הבאה במלבן: u xx + u yy =, < x, y < u x (, y) = k cos (y), y u x (, y) =, y u y (x, ) =, x { u y (x, ) =, x

3 א( עבור איזה ערך של k קיים פתרון לבעיה? ב( עבור k שמצאת, מצא את (y.u(x, פתרון: א( נסמן את התחום של המלבן ב. נבדוק את התנאי שהצגנו קודם לכן: = u u dr = n n dr L 1 = (u x, u y ), (, 1) dr L 1 + u n dr L + u n dr L 3 u n = u, n = (u x, u y ), n + (u x, u y ), ( 1,) dr L 4 = u y dr L 1 + (u x, u y ), (1,) dr L + u x dr L + u y dr L 3 + u n dr L 4 + (u x, u y ), (,1) dr L 3 u x dr L 4 נחשב כל אינטגרל בנפרד: r = x dr = dx u y (x, ) dx r = y = על :L 1 מתקיים ש: ולכן: על :L מתקיים ש:

4 dr = dy ולכן: u x (, y) dy = על :L 3 מתקיים ש: r = x dr = dx ולכן: u y (x, ) dx = על :L 4 מתקיים ש: r = y dr = dy u x (, y) dy k cos (y) dy = k cos (y) dy = ולכן: נחבר הכל ונקבל את המשוואה: נחשב את האינטגרל לפי הזהות cos(y) :cos (y) = [k 1 1 cos(y)] dy = [ky 1 y 1 4 sin(y)] = k 1 k 1 = k = 1

5 ב( נציב את ה k שמצאנו: u xx + u y =, < x, y < u x (, y) = 1 cos (y) = cos(y), y u x (, y) =, y u y (x, ) =, x { u y (x, ) =, x נשים לב כי = ( u y,x) ( = u y,x) יהיו תנאי השפה שלנו ושני התנאים האחרים יהיו תנאי ההתחלה. נבצע הפרדת משתנים: u(x, y) = X(x)Y(y) u y (x, y) = X(x)Y (y) נציב את תנאי השפה: = u y (x, ) = X(x) = u y (x, ) = X(x) Y () = Y () = Y () = Y () = נציב במד"ח: X (x)y(y) + X(x)Y (y) = X X = Y Y = λ יחד עם תנאי השפה )נוימן(: Y () = Y () = נקבל מהפרדת המשתנים ש: λ n = n, n Y n (y) = C n cos(ny) X n X n = n )נשים לב כי = λ לא נותן פתרון טריוויאלי(. X (x) X (x) = X (x) = X (x) = a x + b נחזור למשוואה עבור X: צריך להפריד עבור = n:

6 עבור :n X n (x) X n (x) = n X n (x) n X n (x) = k n = k = ±n לכן: X n (x) = a n e nx + b n e nx קיבלנו ש: u (x, y) = X (x)y (y) = (a x + b )c = A + B x u n (x, y) = X n (x)y n (y) = c n cos(ny) [a n e nx + b n e nx ] = cos(ny) [A n e nx + B n e nx ] קיבלנו: u(x, y) = A + B x + cos(ny) [A ne nx + B n e nx ] n=1 u x (x, y) = B + cos(ny) [na ne nx nb n e nx ] n=1 1 cos(y) = u x(, y) = B + cos(ny) [na n nb n ] n=1 נרצה להציב תנאי התחלה: מהשוואת מקדמים: עבור = :n A B = 1 A B = 1 4 עבור n וגם = 1 :n na n nb n = A n B n =

7 B = מתנאי התחלה שני: = u x (, y) = B + cos(ny) [na ne n nb n e n ] n=1 מקבלים: B = n 1 na n e n nb n e n = A n e n B n e n = נקבל: A n = { B = 1 4 A e B e = A n 3, n = 1 { n B n = A n e n B n e n = עבור המערכת השנייה נקבל = n A n = B )ניתן להציב או לחשב דטרמיננטה(. נשתמש בכלל קרמר עבור המערכת הראשונה )גם פה אפשר לעשות הצבות(: A = e = 1 1 e e 1 4 e sinh() = e 8 sinh() בדומה: B = e = 1 1 e e 1 4 e sinh() = e 8 sinh() u(x, y) = A + cos(y) [ e e 8 sinh() ex 8 sinh() e x ] נחזור לטור המקורי:

8 משפט המקסימום החלש עבור פו' הרמונית: תהי u פו' הרמונית בתחום חסום וסגור! אזי u מקבלת את המינימום ואת המקסימום על השפה. דוגמה: בתרגיל הקודם שלנו, נשאל מהו הערך המינימלי ומהו הערך המקסימלי? f(y) = 1 cos(y), y f (y) = sin(y) נשווה את הנגזרת לאפס: sin(y) = y = n y = n, n Z ועבור התחום שלנו נקבל שהערכים האפשריים הם )עבור =,1, n(: y =,, נבדוק האם הם מקסימום או מינימום: f (y) = cos(y) f () = cos() = > min (, 1 ) f ( ) = cos() = < max (, 1 ) f () = cos() = > min (, 1 ) ומצאנו.

9 דוגמה: { u xx + u yy =, x + y < 4 u(x, y) = y, x + y = 4 נעבור לקואורדינטות פולריות: u(, θ) = sin(θ), θ < h(θ) = sin(θ) תחקרו ותמצאו ערך מקסימלי ומינימלי... תרגיל )תזכורת(: חצי מיתר אינסופי: u tt u xx =, < x < u(x, ) = f(x), x < { u t (x, ) =, x < u(, t) =, t א( מהו תנאי תואמות בהינתן ש - )) ([,.g C 1 ([, )), f C ב( מצא פתרון לבעיה. פתרון: א( נקבל ש: f() = g() = f () = ב( לפי תנאי התאימות מקודם, נבצע ל f ו g הרחבה אי זוגית: f(x), x f (x) = { f( x), x < g(x), x g (x) = { g( x), x <

10 נגדיר: R. על כל u היא המד"ח של u u tt u xx =, < x < u (x, ) = f(x), x < { u t(x, ) =, x < u (, t) =, t נחלק לשני מקרים:. x t < x + t )1.x t < x + t ) נשתמש בנוסחת דלאמבר: u (x, t) = f (x + t) + f (x t) u (x, t) = u(x, t) = + 1 f(x + t) + f(x t) x+t g (s) ds x t + 1 x+t g(s) ds x t מקרה I: מקרה I: u (x, t) = f(x + t) + f(x t) + 1 [ g( s) ds x t r = s dr = ds x+t + g(s) ds] נצבע החלפת משתנים: ונקבל: u (x, t) = f(x + t) f(t x) = + 1 f(x + t) f(t x) [ g(r) dr t x x+t + 1 g(s) ds t x x+t + g(s) ds] לכן: f(x + t) + f(x t) + 1 x+t g(s) ds, x t x t u(x, t) = f(x + t) f(t x) + 1 x+t g(s) ds, x t < { t x

11 תרגיל: פתרו את משוואת הגלים הבאה: u tt u xx =, < x < u(x, ) = x +, x < { u t (x, ) =, x < u(, t) =, t פתרון: נשים לב כי תנאי השפה הוא לא הומוגני ולכן נגדיר + v u = ונפתור את: v = u v tt v xx = v(x, ) = x, f(x) { v t (x, ) =, g(x) v(, t) =, h(t) נגדיר את הבעיה על v: את הבעיה על v נפתור כרגיל. תנאי תואמות: f() = h() = { g() = h () = f () = מחישוב u מהתזכורת, יתקיים ש: v(x, t) = x + t + x t + 1 x+t ds = x, x t x t x + t (t x) + 1 x+t { ds = x, t x x t < וסיימנו. תרגיל: פתרו את המד"ח: u x + x u y = u כאשר תנאי ההתחלה הוא: א( = 1 y).u(, ב( = 1 ).u(x,

12 פתרון: א( נפתור עם שיטת קווים אופיינים: dx dt = 1 dy dt = x du { dt = u נפתור כל משוואה: x(t, s) = t + f 1 (s) dy dt = (t + f 1(s)) y = (t + f 1(s)) f (s) וכן: du dt = u du u = dt du u = dt ln(u) = t + f 3 (s) u = f 3 (s)e t קיבלנו: x(t, s) = t + f 1 (s) y(t, s) = (t + f 1(s)) 3 + f 3 (s) { u(t, s) = f 3 (s)e t נקבל שהקו ההתחלתי הוא )כי = 1 (y,)u(: Γ = {x(, s), y(, s), u(, s)} = {(, s, 1)} לכן: = x(, s) = f 1 (s) s = y(, s) = (f 1(s)) f (s) f (s) = s

13 1 = u(, s) = f 3 (s) 1 f 3 (s) = 1 לכן המשטח האופייני הוא: x(t, s) = t y(t, s) = t3 3 + s { u(t, s) = e t y t J t= = x t x s y s t= = 1 t 1 = 1 t= נבדוק את תנאי החיתוך: לכן מהמשפט, באופן מקומי יש מקום )לא בהכרח בכל R(. t = x s + x3 3 = y s = y x3 3 u(x, y) = e x נוכל לחזור למשתנים,x: y. y = x3 היטל קו אופייני במישור + s :xy 3 היטל קו התחלתי: (s,), משמע ציר ה y! ב( כעת נבצע אותו דבר בהתחלתה, אבל הקו ההתחלתי כעת שונה: Γ = {x(, s), y(, s), u(, s)} = {(s,,1)} s = x(, s) = f 1 (s) = y(, s) = s3 3 + f (s) f (s) = s3 3 1 = u(, s) = f 3 (s) כעת:

14 נקבל: x(t, s) = t + s (t + s)3 y(t, s) = s3 3 3 { u(t, s) = e t J t= = 1 x (, s) = 1 s 1 1 = s נבדוק את תנאי החיתוך: תנאי החיתוך מתקיים כש - s ונוכל לחזור למשתנים המקוריים,x y והפתרון הוא רק מקומי! x = t + s y = x3 s 3 3 ב - = s נצטרך לבדוק. היטל קו אופייני במישור :xy היטל קו התחלתי: (s,). ולכן ב - = s אין פתרון. הבעיה נובעת מכך שהיטל קווים אופיינים נחתכים בכל סביבה של הראשית.